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鋼琴琴鍵的一個八度音程為何要設(shè)計(jì)5個黑鍵和8個白鍵？為何倍數(shù)頻率的泛音和基音可以完美重疊？

這些都可以從數(shù)學(xué)角度完美解釋。最初的音樂就是簡單地傳遞情感，然而在發(fā)展的過程中，音樂與數(shù)學(xué)發(fā)生了密切聯(lián)系。等比數(shù)列、三角級數(shù)、斐波拉契數(shù)列、黃金分割、偏微分方程等數(shù)學(xué)理論都在音樂中有所滲透。

最早將音樂與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的研究，源自古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，他認(rèn)為數(shù)學(xué)就像音樂一樣無處不在，區(qū)別在于音樂可以直接聽，數(shù)學(xué)需要經(jīng)過思考。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了“五度相生律”。相傳畢達(dá)哥拉斯經(jīng)過鐵匠鋪時，發(fā)現(xiàn)打鐵節(jié)奏很有規(guī)律，那些音調(diào)和諧的錘子間有一種簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系。相反，那些重量之間不存在簡單比例節(jié)奏的錘子，一起敲打時會發(fā)出噪聲。他還發(fā)現(xiàn)了八度音與基本音調(diào)之比為1:2，五度音之比為2:3。將純五度音程作為生律要素，稱為“五度相生律”。這是人們最早用數(shù)學(xué)方法研究美的實(shí)踐。

文藝復(fù)興時期，數(shù)學(xué)和音樂的融合也加快了步伐，其代表人物是達(dá)·芬奇，他不僅在繪畫上造詣深厚，同時也是音樂家、數(shù)學(xué)家、建筑師等。達(dá)·芬奇研究如何設(shè)計(jì)新的鍵盤來提高彈奏速度、豐富聲音種類，以及擴(kuò)展音域。他在對樂器的探索中研究各種聲波的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)原理，留下了很多相關(guān)手稿。達(dá)·芬奇和數(shù)學(xué)家、近代會計(jì)之父盧卡·帕喬利一起出版了《神圣比例》，內(nèi)容正是數(shù)學(xué)中的黃金率0.618或1.618。

在中國古代歷史上，音樂和數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)也常有記載。最早用數(shù)學(xué)解釋的聲學(xué)定律是“三分損益法”，意思是將管加長或者縮短三分之一，音調(diào)聽起來也很和諧。明代著名音樂家和數(shù)學(xué)家朱載堉潛心研究術(shù)數(shù)樂律，于萬歷十二年完成了“十二平均律”的計(jì)算。17世紀(jì)，朱載堉的“十二平均律”被傳教士帶到了西方，被廣泛應(yīng)用，鋼琴就是根據(jù)“十二平均律”的原理發(fā)明的。

工業(yè)革命前后，大機(jī)器的發(fā)明和應(yīng)用使得數(shù)學(xué)對音樂和藝術(shù)的影響更加明顯，其代表人物是巴赫和貝多芬。巴赫是巴洛克時期的德國作曲家，在他創(chuàng)作的《音樂的奉獻(xiàn)》樂曲中，聽眾感覺在不斷地升調(diào)，奇怪的是，升調(diào)后最終又回到了原調(diào)上。

事實(shí)上，這種奇怪的現(xiàn)象與各層面間的遞推和纏繞有關(guān)，數(shù)學(xué)上稱為悖論，集合論基礎(chǔ)的悖論曾引發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

與巴赫齊名的另一位德國偉大音樂家貝多芬，一生創(chuàng)作了眾多具有強(qiáng)烈藝術(shù)感染力的音樂作品。令人難以置信的是，他的很多作品都是在失聰狀態(tài)下創(chuàng)作的，這一定源于貝多芬深諳音符背后隱藏的規(guī)律，其中包括數(shù)學(xué)規(guī)律。

（作者系華中農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)術(shù)團(tuán)隊(duì)骨干教師）